Ratio & Proportion (अनुपात एवं समानुपात) Part 3 | Ratio Basics, Concepts, Tricks & Practice Questions

Hey Aspirants! 👋

🔥 Ratio & Proportion (Part 3) — Type-Wise Master Word Problems | Cross Multiplication Tricks | Practice Set

Welcome to Part 3 of Ratio & Proportion! Continuing from Part 2 (Type 1–4), we now master the core Word Problem Types (Type 5 to Type 10): Advanced Sum Balancing, Coin & Currency Problems, Income-Expenditure Cross Multiplication, Last Year vs Present Year Shifts, Variation (Diamond Breaking), and Error in Distribution.

यह Ratio & Proportion सीरीज़ का Part 3 है — Part 2 में Type 1 से 4 तक सीखने के बाद, अब यहाँ से Type 5 से Type 10 तक के सबसे महत्वपूर्ण Word Problems: उन्नत योग संतुलन, सिक्कों पर आधारित प्रश्न, आय-व्यय व बचत की क्रॉस गुणा विधि, पिछला वर्ष बनाम वर्तमान वर्ष, हीरा टूटने पर नुकसान और गलत अनुपात में बंटवारा को हल किए गए उदाहरणों, बेस्ट ट्रिक्स और Practice Sets के साथ step-by-step समझेंगे। 🎯

5 Type 5 – Advanced Sum Balancing: A : (B + C) (उन्नत योग संतुलन)

📘 Concept

When ratios are given in grouped form like A : (B + C) and B : (A + C), the total sum (A + B + C) must remain constant across all representations. Equalize the total units by multiplying each ratio with the appropriate factor to isolate A, B, and C individually.

जब अनुपात A : (B + C) और B : (A + C) के रूप में दिए जाएं, तो तीनों का कुल योग (A + B + C) दोनों जगह समान होना चाहिए। दोनों अनुपातों के योग का LCM लेकर उन्हें बराबर करें और A, B, C का अलग-अलग मान निकालें।

🏆 Mathnija Total-Sum Balancing Rule

Total Sum (A + B + C) must be equal in all ratios

💡 A का मान पहली पंक्ति से और B का मान दूसरी पंक्ति से निकालें, फिर C = Total − (A + B)

✅ Main Example

If A : (B + C) = 1 : 3 and C : (A + B) = 5 : 7, find A : B : C.

यदि A : (B + C) = 1 : 3 और C : (A + B) = 5 : 7 है, तो A : B : C ज्ञात कीजिए?

• Row 1: A : (B + C) = 1 : 3 ⟹ Total = 1 + 3 = 4 units
• Row 2: C : (A + B) = 5 : 7 ⟹ Total = 5 + 7 = 12 units
• LCM of Totals (4, 12) = 12
• Multiply Row 1 by 3: A : (B + C) = 3 : 9 (Total = 12) ⟹ A = 3
• Row 2 remains as is: C : (A + B) = 5 : 7 (Total = 12) ⟹ C = 5
• B = Total − (A + C) = 12 − (3 + 5) = 4
----------------------------------------
⟹ A : B : C = 3 : 4 : 5

Final Answer3 : 4 : 5

✍️ Try Yourself🟡 Moderate

Q. If A : (B + C) = 1 : 2 and B : (A + C) = 1 : 3, then find A : B : C.

यदि A : (B + C) = 1 : 2 और B : (A + C) = 1 : 3 है, तो A : B : C ज्ञात कीजिए?

A. 4:3:5   B. 3:4:5   C. 4:5:3   D. 5:4:3

Show Answer & Solution

Total Row 1 = 3, Total Row 2 = 4. LCM(3,4) = 12. Row 1 (×4) ⟹ A = 4. Row 2 (×3) ⟹ B = 3. C = 12 − (4+3) = 5 ⟹ A:B:C = 4 : 3 : 5

Final AnswerA. 4:3:5

6 Type 6 – Coin & Currency Problems (सिक्कों पर आधारित प्रश्न)

📘 Concept

When the ratio of coin counts is given along with the total monetary amount, multiply the number of coins by the individual face value (in rupees) to obtain the total value ratio.

जब सिक्कों की संख्या का अनुपात और कुल राशि (₹) दी जाए, तो प्रत्येक सिक्के के मूल्य (रुपये में) से गुणा करके कुल राशि का अनुपात निकालें और दी गई कुल राशि के बराबर रखें।

🏆 Mathnija Coin Value Rule

Total Value (₹) = Sum of (No. of Coins × Face Value in ₹)

⚠️ 50p = ₹(1/2)  |  25p = ₹(1/4)  |  10p = ₹(1/10)  |  5p = ₹(1/20)

✅ Example

A bag contains 50 paise, 25 paise and 10 paise coins in the ratio 5 : 9 : 4 amounting to ₹206. Find the number of coins of each type.

एक थैले में 50 पैसे, 25 पैसे और 10 पैसे के सिक्के 5 : 9 : 4 के अनुपात में हैं। यदि थैले में कुल ₹206 हों, तो सभी प्रकार के सिक्कों की संख्या बताओ?

• Value Units = 5×(1/2) + 9×(1/4) + 4×(1/10) = 2.50 + 2.25 + 0.40 = 5.15 units
• 5.15 units = ₹206 ⟹ 1 unit = 206 / 5.15 = 40
👉 50p Coins = 5 × 40 = 200
👉 25p Coins = 9 × 40 = 360
👉 10p Coins = 4 × 40 = 160

Final Answer200, 360, 160

🟡 Moderate

Q. A bag contains coins of denominations ₹1, ₹2 and ₹5 in the ratio 4 : 5 : 8. If the total value of these coins is ₹432, then what is the number of ₹2 coins?

एक बैग में 4 : 5 : 8 के अनुपात में ₹1, ₹2 और ₹5 मूल्यवर्ग के सिक्के हैं। यदि कुल मूल्य ₹432 है, तो ₹2 के सिक्कों की संख्या क्या है?

A. 40   B. 30   C. 50   D. 60

Answer & Solution देखें

Value Ratio = (4×1) + (5×2) + (8×5) = 4 + 10 + 40 = 54 units. 54 units = ₹432 ⟹ 1 unit = 8. ₹2 Coins = 5 × 8 = 40

Final AnswerA. 40

✍️ Try Yourself🟡 Moderate

Q. If 378 coins consist of ₹1, 50 paise and 25 paise coins whose values are in the ratio 13 : 11 : 7, find the number of 50 paise coins.

378 सिक्कों के ढेर में ₹1, 50 पैसे तथा 25 पैसे के सिक्के हैं, जिनका मान (Value) 13 : 11 : 7 के अनुपात में है। 50 पैसे के सिक्कों की संख्या ज्ञात करें?

A. 140   B. 132   C. 134   D. 133

Show Answer & Solution

Coins Count Ratio = (13×1) : (11×2) : (7×4) = 13 : 22 : 28. Total units = 13 + 22 + 28 = 63 units = 378 ⟹ 1 unit = 6. 50p Coins = 22 × 6 = 132

Final AnswerB. 132

7 Type 7 – Income, Expenditure & Savings (आय, व्यय एवं बचत)

📘 Concept

Income equals Expenditure plus Savings (Income = Expenditure + Savings). When both income and expenditure ratios are given alongside individual savings, the Cross-Multiplication Method avoids solving linear equations.

आय = खर्च + बचत। जब दो व्यक्तियों की आय, खर्च का अनुपात और उनकी व्यक्तिगत बचत दी गई हो, तो क्रॉस गुणा विधि से सीधे 1 unit का मान निकल आता है।

💡 Mathnija Cross-Multiplication Flow

Row 1Income Ratio (I₁ : I₂)

✕

Row 2Expense Ratio (E₁ : E₂)

➜

Row 3Savings (S₁ : S₂)

🏆 Mathnija Golden Cross Rule

| (I₁ × E₂) − (I₂ × E₁) | units = | (E₁ × S₂) − (E₂ × S₁) | ₹

⚠️ निकला हुआ 1 unit का मान हमेशा पहली पंक्ति (Income) में ही गुणा किया जाता है

✅ Example

The ratio of income of A and B is 5 : 4 and their expenditure ratio is 3 : 2. If at the end of the year each saves ₹64,000, find the income of A.

A और B की आय का अनुपात 5 : 4 है तथा उनके खर्च का अनुपात 3 : 2 है। यदि वर्ष के अंत में प्रत्येक ₹64,000 बचाता है, तो A की आय ज्ञात करो?

• Top Cross Difference = |(5×2) − (4×3)| = |10 − 12| = 2 units
• Bottom Cross Difference = |(3×64000) − (2×64000)| = ₹64,000
• 2 units = ₹64,000 ⟹ 1 unit = ₹32,000
👉 A's Income = 5 × ₹32,000 = ₹1,60,000

Final Answer₹1,60,000

🟡 Moderate

Q. The monthly incomes of A and B are in the ratio 4 : 5 and their expenses in 5 : 6. If A saves ₹25 per month and B saves ₹50 per month, what are their respective incomes?

A और B की मासिक आय 4 : 5 में है, उनका खर्च 5 : 6 में है। यदि A ₹25 बचाता है और B ₹50 बचाता है, तो उनकी संबंधित आय क्या है?

A. 100, 75   B. 500, 400   C. 800, 700   D. 400, 500

Answer & Solution देखें

Cross Top = |(4×6) − (5×5)| = 1 unit. Cross Bottom = |(5×50) − (6×25)| = 250 − 150 = ₹100. 1 unit = ₹100. Incomes = 4×100, 5×100 = ₹400, ₹500

Final AnswerD. 400, 500

✍️ Try Yourself🔴 Advanced

Q. The ratio of A's income to B's income is 5 : 7. A and B save ₹4,000 and ₹5,000 respectively. If A's expenditure is 66⅔% of B's expenditure, find the total income of A and B.

A और B की आय का अनुपात 5 : 7 है। वे क्रमशः ₹4000 और ₹5000 बचाते हैं। यदि A का व्यय B के व्यय का 66⅔% (2/3) है, तो A और B की कुल आय ज्ञात करें।

A. ₹25,200   B. ₹26,400   C. ₹24,000   D. ₹28,800

Show Answer & Solution

Expense ratio = 2 : 3. Top Cross = |(5×3) − (7×2)| = 1 unit. Bottom Cross = |(2×5000) − (3×4000)| = 2000. 1 unit = ₹2000. Total Income = (5+7) × 2000 = 12 × 2000 = ₹24,000

Final AnswerC. ₹24,000

8 Type 8 – Last Year vs Present Year Income (पिछला वर्ष vs वर्तमान वर्ष)

📘 Concept

When the previous year ratio of two persons is given along with their individual (Last Year : Present Year) growth ratios, convert the original shares by multiplying with the growth factor (Present / Last).

जब पिछले वर्ष की आय का अनुपात और प्रत्येक व्यक्ति के पिछले व वर्तमान वर्ष का अनुपात दिया हो, तो पिछले वर्ष के अनुपात को (वर्तमान / पिछला) से गुणा करके नया वर्तमान अनुपात निकालें।

🏆 Mathnija Shift Multiplier Rule

Present Income Share = Past Share × (Present Ratio Term / Past Ratio Term)

💡 भिन्नों को हटाने के लिए सभी पदों को उनके हर (Denominators) के LCM से गुणा करें

✅ Example

One year ago ratio of income of A and B was 3 : 5. The ratio of their last year income to present year income is 2 : 3 and 4 : 5 respectively. If their total present income is ₹4,300, find B's present income.

एक वर्ष पहले A तथा B की आय का अनुपात 3 : 5 था। उनके पिछले वर्ष और वर्तमान वर्ष की आय का अनुपात क्रमशः 2 : 3 और 4 : 5 है। यदि वर्तमान वर्ष में कुल आय ₹4,300 है, तो B की वर्तमान आय ज्ञात करो?

• A's Present Units = 3 × (3/2) = 9/2
• B's Present Units = 5 × (5/4) = 25/4
• Present Ratio = (9/2) : (25/4) = (9×2) : 25 = 18 : 25
• Total Units = 18 + 25 = 43 units = ₹4,300 ⟹ 1 unit = ₹100
👉 B's Present Income = 25 × ₹100 = ₹2,500

Final Answer₹2,500

🔴 Advanced

Q. Last year the ratio of income of A and B was 4 : 3. The ratio of their individual incomes of last year and this year is 3 : 4 and 5 : 6 respectively. If their total current year income is ₹8.04 lakh, find B's income last year.

पिछले वर्ष A और B की आय का अनुपात 4 : 3 था। पिछले वर्ष और इस वर्ष की उनकी व्यक्तिगत आय का अनुपात क्रमशः 3 : 4 और 5 : 6 है। यदि वर्तमान वर्ष में उनकी कुल आय ₹8.04 लाख है, तो पिछले वर्ष B की आय कितनी थी?

A. ₹2.7 lakh   B. ₹2.4 lakh   C. ₹3.6 lakh   D. ₹2.8 lakh

Answer & Solution देखें

A (Present) = 4 × (4/3) = 16/3. B (Present) = 3 × (6/5) = 18/5. Ratio = (16/3) : (18/5) = 80 : 54 = 40 : 27. Total = 67 units = 8.04 lakh ⟹ 1 unit = 0.12 lakh. B (Present) = 27 × 0.12 = 3.24 lakh. B (Last Year) = 3.24 × (5/6) = 2.70 lakh

Final AnswerA. ₹2.7 lakh

9 Type 9 – Variation & Diamond Breaking (भार के वर्ग के समानुपाती)

📘 Concept

When the price of an article varies directly with the square of its weight (Value ∝ Weight²), broken fragments calculate individual values by squaring their respective parts, causing a massive net loss.

जब किसी कीमती वस्तु (हीरा/सोना) का मूल्य उसके वजन के वर्ग के समानुपाती हो, तो टूटे हुए प्रत्येक टुकड़े का मान अलग-अलग वर्ग करके निकाला जाता है, जिससे कुल मूल्य घट जाता है।

🏆 Mathnija Square-Weight Law

Initial Value = (w₁ + w₂ + w₃)²   |   Broken Value = w₁² + w₂² + w₃²

⚠️ Loss in Value = (Total Weight)² − (Sum of Individual Squares)

✅ Example

The value of a diamond is directly proportional to the square of its weight. A diamond was broken into four parts in the ratio 1 : 2 : 3 : 4. If there was a loss of ₹70,000 on breaking, find the value of the original diamond.

किसी हीरे का मूल्य उसके भार के वर्ग के अनुक्रमानुपाती है। एक हीरा चार भागों में 1 : 2 : 3 : 4 के अनुपात में टूटा। टूटने पर ₹70,000 की हानि हुई, तो मूल हीरे का मूल्य क्या होगा?

• Total Original Weight = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 units
• Original Value = (10)² = 100 units
• Broken Value = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 units
• Loss = 100 − 30 = 70 units = ₹70,000 ⟹ 1 unit = ₹1,000
👉 Original Value = 100 × ₹1,000 = ₹1,00,000

Final Answer₹1,00,000

✍️ Try Yourself🟡 Moderate

Q. The price of gold is directly proportional to the square of its weight. A person broke down gold in the ratio 3 : 2 : 1 and faced a loss of ₹4,620. Find the initial price of the gold.

सोने की कीमत उसके वजन के वर्ग के समानुपाती है। एक व्यक्ति सोने को 3 : 2 : 1 के अनुपात में तोड़कर बेचता है और उसे ₹4,620 का नुकसान होता है। सोने का वास्तविक मूल्य क्या होगा?

A. ₹6,300   B. ₹7,600   C. ₹7,560   D. ₹6,500

Show Answer & Solution

Original Weight = 3+2+1 = 6. Initial Value = 6² = 36. Broken Value = 3² + 2² + 1² = 9 + 4 + 1 = 14. Loss = 36 − 14 = 22 units = 4620 ⟹ 1 unit = 210. Initial Price = 36 × 210 = ₹7,560

Final AnswerC. ₹7,560

10 Type 10 – Division by Mistake (गलत अनुपात में बंटवारा)

📘 Concept

When money intended for whole-number distribution A : B : C is mistakenly split according to reciprocal fractions (1/A : 1/B : 1/C), calculate individual shares under both scenarios on the same total sum.

जब किसी राशि को सीधे अनुपात के बजाय गलती से भिन्नात्मक (व्युत्क्रम) अनुपात में बांट दिया जाए, तो दोनों स्थितियों में कुल राशि को समान रखकर व्यक्तिगत लाभ या हानि ज्ञात की जाती है।

✅ Example

₹11,700 was to be divided among A, B and C in 4 : 3 : 6, but by mistake it was divided in (1/4) : (1/3) : (1/6). How much did B gain?

₹11,700 को A, B, C में 4 : 3 : 6 में बांटना था, पर गलती से (1/4) : (1/3) : (1/6) में बांट दिया गया। B को कितने रुपये का लाभ हुआ?

• Right Ratio = 4 : 3 : 6 (Sum = 13 units = 11700 ⟹ 1 unit = 900)
  ➜ B's Right Share = 3 × 900 = ₹2,700
• Wrong Ratio = (1/4) : (1/3) : (1/6) = Multiply by LCM(12) = 3 : 4 : 2 (Sum = 9 units = 11700 ⟹ 1 unit = 1300)
  ➜ B's Wrong Share = 4 × 1300 = ₹5,200
👉 Gain of B = 5200 − 2700 = ₹2,500

Final Answer₹2,500

⚡ Mathnija Revision Sheet (Part 3 Summary)

Application Type	Master Method / Formula	Key Trick
5. Advanced Balancing	Total (A+B+C) Equalization	दोनों अनुपातों के योग का LCM लें
6. Coin Problems	Total ₹ = Sum of (Coins × Value per coin)	पैसे को रुपये में बदलें (50p = 1/2)
7. Income-Expense	Cross Multiplication: (I×E diff) = (E×S diff)	1 unit का मान हमेशा आय में गुणा करें
8. Past vs Present Year	Present Units = Past Share × (Present / Past)	LCM से गुणा कर सरल अनुपात बनाएं
9. Diamond Breaking	Loss = (Total Weight)² − (Sum of Squares)	मूल्य हमेशा भार के वर्ग के समानुपाती
10. Wrong Distribution	Equate Total Sum in Direct & Reciprocal Ratio	दोनों स्थितियों में कुल राशि समान रखें

🎯 Quick Summary

• ✅ Sum Balancing — A:(B+C) वाले सवालों में सबसे पहले कुल योग को समान करें।
• ✅ Coin Types — सिक्कों की संख्या वाले प्रश्नों में हमेशा Face Value (₹) का ध्यान रखें।
• ✅ Cross Method — Income-Expenditure में बिना x माने Cross Multiplication से 10 सेकंड में उत्तर निकालें।
• ✅ Income Growth — पिछले से वर्तमान वर्ष जाने पर (Present / Past) गुणक का प्रयोग करें।
• ✅ Diamond Loss — (a+b+c)² vs (a²+b²+c²) के अंतर से Loss Units निकालें।

📚 ये भी पढ़ें (Related Topics): Ratio & Proportion — Part 1 Ratio & Proportion — Part 2 Profit & Loss — Part 1 Profit & Loss — Part 2 Discount — Complete Concepts & Formulas Percentage — Basics HCF & LCM

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रटना नहीं, समझना है!

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• Part 1 — Ratio Basics & Simplification
• Part 2 — Ratio Combination (A:B:C:D) & Proportions
• Part 3 — Type-Wise Master Word Problems
• Simple & Compound Interest (साधारण एवं चक्रवृद्धि ब्याज) — Coming Soon