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HCF & LCM in English & Hindi | महत्तम समापवर्तक (HCF) एवं लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) |30 SSC PYQs Practice | Number System | संख्या पद्धति

Hey Aspirants! 👋

🔥 Mathnija Complete Guide — इस पोस्ट को पूरा पढ़ने के बाद HCF और LCM में आप कभी Confuse नहीं होंगे।

"Whether it's Bank, SSC, or Railway — this topic sometimes appears on its own, and sometimes hides inside chapters like Time & Work, Time & Distance, or Fractions to test you. So let's clear it up once and for all today. 🎯"

Bank हो, SSC हो या Railway — ये टॉपिक कभी अकेला भी आता है, और कभी Time & Work, Time & Distance, Fractions जैसे chapters के अंदर छुपकर भी आपकी परीक्षा लेता है। इसलिए आज इसे हमेशा के लिए clear कर लेते हैं। मजबूत नींव के लिए Number System Chapter 1 भी अवश्य पढ़ें। 🎯

1️⃣ Real Life में इनका जादू 🌍

Where it's used / कहाँ इस्तेमाल होता है Concept
🔔 Bells ringing together / घंटियों का साथ बजना LCM
🧱 Equal tile/floor cutting / टाइलें-फर्श की बराबर कटिंग HCF
🎁 Dividing items into equal parts / सामान को बराबर हिस्सों में बाँटना HCF
🚌 Bus/train schedule sync / बस-ट्रेन का एक साथ चलना LCM

2️⃣ What is HCF? 🧩

English: HCF (Highest Common Factor) is the largest number that divides two or more numbers exactly, without leaving any remainder.

Hindi: HCF वह सबसे बड़ी संख्या होती है जो दो या दो से अधिक संख्याओं को पूर्णतः (बिना शेषफल के) विभाजित कर दे।

✅ Concept: HCF को GCD (Greatest Common Divisor) भी कहा जाता है — नाम अलग, मतलब वही!

💡 Easy Example: 12 और 18 का HCF निकालें
• 12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 18 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• Common Factors: 1, 2, 3, 6
🎯 HCF = 6

3️⃣ What is LCM? ✨

English: LCM (Least Common Multiple) is the smallest number that is exactly divisible by two or more given numbers.

Hindi: LCM वह सबसे छोटी संख्या होती है जो दो या दो से अधिक संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो जाए।

💡 Easy Example: 4 और 6 का LCM निकालें
• 4 के गुणज: 4, 8, 12, 16, 20...
• 6 के गुणज: 6, 12, 18, 24...
• Common Multiples: 12, 24...
🎯 LCM = 12

4️⃣ Difference Between HCF & LCM ⚖️

Parameter / गुण HCF (महत्तम समापवर्तक) LCM (लघुत्तम समापवर्त्य)
Full Form Highest Common Factor Least Common Multiple
Core Concept वह बड़ी से बड़ी संख्या जो दी गई संख्याओं को विभाजित (Divide) करती है। वह छोटी से छोटी संख्या जो दी गई संख्याओं से विभाजित (Is Divisible) होती है।
Value Range दी गई संख्याओं में से सबसे छोटी संख्या के बराबर या उससे छोटी होती है। दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या के बराबर या उससे बड़ी होती है।
Prime Factorization Rule केवल Common Prime Factors की Lowest (न्यूनतम) Power ली जाती है। सभी Prime Factors की Highest (उच्चतम) Power ली जाती है।
Exam Keywords (पहचान) "Largest", "Maximum", "Greatest", "Equal cuts/parts" "Smallest", "Minimum", "Least", "Together again"
Practical Use सामान को बराबर हिस्सों में बाँटना, टाइलें काटना घंटियों का एक साथ बजना, बस/ट्रेन का शेड्यूल मिलाना

5️⃣ Method 1: Finding HCF by Listing Factors 📋

Steps: सभी संख्याओं के factors लिखें → Common factors पहचानें → सबसे बड़ा common factor = HCF

Example: 24 और 36 का HCF
24 के factors: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36 के factors: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Common factors: 1, 2, 3, 4, 6, 12
🎯 HCF = 12

6️⃣ Method 2: Listing Multiples से LCM 📋

Steps: List the multiples of all the numbers → find the first common multiple → that will be the LCM.

Example: 10 और 15 का LCM
10 के multiples: 10, 20, 30...
15 के multiples: 15, 30, 45, 60...
🎯 LCM = 30

7️⃣ Method 3: Prime Factorization Method | अभाज्य गुणनखंड विधि 🔢

🔑 Rule for HCF: Take only the common prime factors, using their lowest power. (केवल common prime factors लें, वो भी सबसे छोटी power के साथ।)

Example: Find the HCF of 36 and 60

36 = 2² × 3²
60 = 2² × 3 × 5
Common: 2² × 3
🎯 HCF = 4 × 3 = 12

🔑 Rule for LCM: Take all prime factors (common and non-common), each with its highest power. (सभी prime factors लें, हर एक की सबसे बड़ी power के साथ।)

Example: Find the LCM of 36 and 60

Highest powers: 2² × 3² × 5
🎯 LCM = 4 × 9 × 5 = 180

8️⃣ Method 4: Division Method (SSC's ⭐ Favourite!)

यह method exams में सबसे तेज़ और सबसे ज्यादा इस्तेमाल होता है — इसे जरूर practice करें!

🔻 Division Method for HCF

💡 प्रश्न: Division Method (विभाजन विधि) से 513 और 1134 का HCF ज्ञात कीजिए।

🔑 महत्वपूर्ण नियम (Rules):

  • बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग (Divide) दें।
  • जो शेषफल (Remainder) बचे, उससे पिछले भाजक (Divisor) को भाग दें।
  • यह प्रक्रिया तब तक दोहराएँ जब तक शेषफल 0 न आ जाए।
  • अंतिम भाजक (Last Divisor) ही HCF होता है।

📐 चरण-दर-चरण समाधान (Step-by-Step):

Step 1: बड़ी संख्या (1134) को छोटी संख्या (513) से भाग दें।
👉 1134 ÷ 513 ⟹ भागफल = 2, शेषफल = 108

Step 2: शेषफल (108) से पिछले भाजक (513) को भाग दें।
👉 513 ÷ 108 ⟹ भागफल = 4, शेषफल = 81

Step 3: शेषफल (81) से पिछले भाजक (108) को भाग दें।
👉 108 ÷ 81 ⟹ भागफल = 1, शेषफल = 27

Step 4: शेषफल (27) से पिछले भाजक (81) को भाग दें।
👉 81 ÷ 27 ⟹ भागफल = 3, शेषफल = 0

📊 एक साथ पूरा भाग (Continuous Division):

 513 ) 1134 ( 2
       1026
       ----
        108) 513 (4
              432
              ---
               81) 108 (1
                     81
                     --
                     27) 81 (3
                          81
                          --
                           0

🎯 अंतिम उत्तर (Final Answer): HCF (513, 1134) = 27

  1. Divide the larger number by the smaller number.
  2. Divide the divisor by the remainder.
  3. Repeat until remainder = 0 → the last divisor is the HCF.
Example: HCF of 48 and 18
48 ÷ 18 = 2, remainder 12
18 ÷ 12 = 1, remainder 6
12 ÷ 6 = 2, remainder 0
🎯 HCF = 6

🔻 Common Division Method for LCM

Example: Find the LCM of 12, 15, and 20

Divisor 12 15 20
261510
23155
3155
5111

🎯 LCM = 2 × 2 × 3 × 5 = 60

9️⃣ Important Formula | महत्वपूर्ण सूत्र 📐

🌟 Product of Two Numbers = HCF × LCM
⚠️ Note: यह formula केवल दो संख्याओं के लिए काम करता है, तीन या अधिक संख्याओं के लिए नहीं!
Example: HCF = 6, LCM = 72, One number = 18. Find the other number.
18 × x = 6 × 72
x = 432 / 18 = 24
🎯 The other number = 24

🔟 Exam Smart Tricks | परीक्षा की स्मार्ट ट्रिक्स ⚡

⭐ Trick 1: The HCF of two numbers is always a factor of their difference.

⭐ Trick 2: The HCF of co-prime numbers is always 1 (e.g., 8 and 15).

⭐ Trick 3 (Remainder Type): If dividing numbers by N leaves remainder R → N = HCF of (first number − R), (second number − R)...

⭐ Trick 4 (Different Remainder): N = HCF of (X−a), (Y−b), (Z−c)

⭐ Trick 5: LCM हमेशा दी गई संख्याओं का multiple होता है — options में से सीधे divisibility check करें! ⏱️

🎯 Practice Set — HCF & LCM (Type-wise 30 PYQs)

नीचे हर Type के सामने उसका core formula दिया गया है — पहले formula याद करें, फिर questions solve करें।

🔹 Type – 1: Basic HCF/LCM Calculation (Numbers, Fractions, Decimals)

📌 Formula:
✅ Fractions का HCF = HCF(Numerators) / LCM(Denominators)
✅ Fractions का LCM = LCM(Numerators) / HCF(Denominators)
✅ Decimals: सभी संख्याओं में समान decimal places बनाएँ → बिना decimal के HCF/LCM निकालें → अंत में वापस decimal places लगाएँ।
1. What is the HCF of 1026, 2268 and 2430? संख्या 1026, 2268 और 2430 का महत्तम समापवर्तक क्या है? SSC CGL - Dec 2022
(a) 108   (b) 54   (c) 81   (d) 27
2. Find the HCF of 4.08 and 6.63. 4.08 और 6.63 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। SSC CGL - Dec 2022
(a) 0.50   (b) 0.52   (c) 0.51   (d) 0.53
3. What is the LCM of 3.6, 1.8 and 0.144? 3.6, 1.8 और 0.144 का लघुत्तम समापवर्त्य क्या है? SSC CGL Tier-I 2021, 19/04/2022
(a) 3.6   (b) 36   (c) 3600   (d) 360
4. Find the HCF of 11/25, 9/20, 16/15 and 10/33. 11/25, 9/20, 16/15 और 10/33 का HCF ज्ञात कीजिए। SSC CPO - Nov 2022
(a) 1/3300   (b) 1/330   (c) 1/33   (d) 1/300
5. Find the HCF of (4³¹⁵ − 1) and (4²⁵ − 1). (4³¹⁵ − 1) और (4²⁵ − 1) का म.स.प ज्ञात करें। SSC MTS - 26 July 2022
(a) 4   (b) 1023   (c) (4²⁵ − 1)   (d) 1024

🔹 Type – 2: दो संख्याओं का LCM-HCF संबंध

📌 Formula:
✅ Product of two numbers = HCF × LCM
✅ यदि एक संख्या ज्ञात है → दूसरी संख्या = (HCF × LCM) ÷ ज्ञात संख्या
✅ यदि Sum/Difference of LCM & HCF दिया हो, तो पहले LCM और HCF निकालें, फिर formula apply करें।
6. The LCM of two numbers is 4104 and HCF is 9. If one number is 171, find the other. दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 4104 है और महत्तम समापवर्तक 9 है। यदि एक संख्या 171 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए। SSC CGL - Dec 2022
(a) 218   (b) 215   (c) 220   (d) 216
7. The sum and difference of LCM and HCF of two positive numbers are 148 and 140. If one number is 16, find the other. दो धनात्मक संख्याओं के LCM और HCF का योग और अंतर क्रमशः 148 और 140 है। यदि एक संख्या 16 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए। SSC GD - 03 Dec 2021, Shift-II
(a) 38   (b) 46   (c) 36   (d) 34
8. LCM of two numbers is 56 times their HCF, sum of HCF and LCM is 1710. If one number is 240, find the other. दो संख्याओं का LCM उनके HCF का 56 गुना है, जबकि HCF और LCM का योग 1710 है। यदि एक संख्या 240 है, तो दूसरी संख्या क्या है? SSC CGL Tier-I 2021, 11/04/2022
(a) 57   (b) 171   (c) 1680   (d) 210
9. Sum of two numbers is 140. If LCM is 240 and HCF is 20, find the smaller number. दो संख्याओं का योग 140 है। यदि उनका LCM 240 और HCF 20 है, तो छोटी संख्या ज्ञात कीजिए। SSC MTS Tier-I 2020, 13/10/2021
(a) 60   (b) 140   (c) 20   (d) 80
10. HCF of two numbers is 21, LCM is 221 times HCF. If one number lies between 200-300, find the digit sum of the other. दो संख्याओं का HCF 21 है और उनका LCM, HCF का 221 गुना है। यदि एक संख्या 200-300 के बीच है, तो दूसरी संख्या के अंकों का योग क्या है? SSC CGL Mains 2018, 12/Sep/2019
(a) 14   (b) 17   (c) 18   (d) 15
11. Sum of two numbers is 1224 and HCF is 68. How many such pairs are possible? दो संख्याओं का योगफल 1224 है और उनका म.स.प. 68 है। ऐसे कितने युग्म संभव हैं? SSC CPO - Nov 2022
(a) 3   (b) 4   (c) 6   (d) 2

🔹 Type – 3: Algebraic Expressions का HCF/LCM

📌 Formula:
✅ पहले हर expression का factorization कीजिए।
✅ HCF = common factors की lowest power
✅ LCM = सभी factors (common + non-common) की highest power
12. If HCF of xy³, x²y and x³y⁴ is xy, find their LCM. यदि xy³, x²y और x³y⁴ का महत्तम समापवर्तक xy है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य क्या है? SSC CGL - Dec 2022
(a) x³y⁴   (b) x³y³   (c) x⁴y³   (d) x⁴y⁴
13. LCM of x² − 8x + 15 and x² − 5x + 6 is? x² − 8x + 15 तथा x² − 5x + 6 का LCM क्या है? SSC CGL Mains - March 2023
(a) (x+6)(x+1)(x-3)   (b) (x-2)(x-3)(x-5)   (c) (x+6)²(x+1)(x-3)   (d) (x-6)(x+1)(x-3)
14. What is the LCM of a³b − ab³, a³b² − a²b³, ab(a - b)? a³b − ab³, a³b² − a²b³, ab(a - b) का LCM क्या है? SSC CPO - Nov 2022
(a) a²b²(a²+b²)   (b) a²b²(a²−b²)   (c) a²b³(a²+b²)   (d) a³b²(a²−b²)

🔹 Type – 4: Ratio आधारित HCF/LCM

📌 Formula:
यदि संख्याएँ ratio a:b में हैं और HCF = k, तो संख्याएँ = a×k, b×k होंगी।
✅ LCM = a × b × k (जब a, b आपस में co-prime हों)
15. Two numbers are in ratio 6:5. If HCF is 3, find LCM. दो संख्याएं 6:5 के अनुपात में हैं। यदि उनका HCF 3 है, तो LCM कितना होगा? SSC CGL - Dec 2022
(a) 64   (b) 110   (c) 90   (d) 80
16. Two numbers are in ratio 2:3. Product of their LCM and HCF is 7350. Find the difference. दो संख्याएँ 2:3 के अनुपात में हैं। उनके LCM और HCF का गुणनफल 7350 है। दोनों संख्याओं का अंतर ज्ञात करें। SSC GD - 03 Dec 2021, Shift-II
(a) 45   (b) 25   (c) 15   (d) 35
17. Three numbers are in ratio 3:8:15 and their LCM is 8280. Find their HCF. तीन संख्याएं 3:8:15 के अनुपात में हैं और उनका LCM 8280 है। उनका HCF क्या है? SSC CGL Tier-I 2021, 19/04/2022
(a) 60   (b) 69   (c) 76   (d) 57
18. Three numbers are in ratio 3:5:7 and their LCM is 840. Their HCF is: तीन संख्याएँ 3:5:7 के अनुपात में हैं और उनका LCM 840 है। उनका HCF है: SSC MTS Tier-I 2020, 13/10/2021
(a) 67   (b) 4   (c) 5   (d) 8

🔹 Type – 5: Real-Life Application (Bells, Timer, Runners)

📌 Formula:
✅ "एक साथ शुरू होकर फिर मिलना/बजना" → हमेशा LCM
✅ "बराबर हिस्सों में बांटना / अधिकतम माप से नापना" → हमेशा HCF
19. 4 equilateral triangles with sides 114, 76, 266, 152 cm. Max measuring scale? 114, 76, 266 और 152 सेमी भुजा वाले 4 समबाहु त्रिभुज हैं। अधिकतम किस माप से इन्हें ठीक-ठीक मापा जा सकता है? Delhi Police - 10 Dec 2020, Shift-III
(a) 38   (b) 19   (c) 57   (d) 76
20. Five bells ring at intervals of 3,5,8,9,10 sec. After how long will they ring together again? पाँच घंटियाँ 3, 5, 8, 9 और 10 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। वे फिर से एक साथ कब बजेंगी? SSC CPO Tier-I 2020, 24/11/2020
(a) 9 min   (b) 8 min   (c) 4 min   (d) 6 min
21. 3 runners start at 6 AM, taking 12,15,24 sec per lap. When will they meet again? तीन धावक सुबह 6 बजे शुरू करते हैं और 12, 15, 24 सेकंड में एक चक्कर पूरा करते हैं। वे फिर कब मिलेंगे? SSC GD - Jan 2023
(a) 6:03:20 AM   (b) 6:02:30 AM   (c) 6:01:40 AM   (d) 6:02:00 AM
22. 120 apples, 240 oranges, 150 pears packed equally per box, one fruit type each. Min boxes needed? 120 सेब, 240 संतरे और 150 नाशपाती को डिब्बों में इस तरह पैक किया जाता है कि हर डिब्बे में एक ही फल और समान संख्या हो। न्यूनतम कितने डिब्बे चाहिए? SSC MTS - July 2022
(a) 40   (b) 17   (c) 50   (d) 30

🔹 Type – 6: Division Method / Remainder आधारित प्रश्न

📌 Formula:
✅ Same remainder r छोड़ने वाली greatest number = HCF of (differences of numbers)
✅ Different remainder छोड़ने पर = HCF of (num − r)
✅ "Doubled होने पर विभाज्य" → पहले LCM निकालें, फिर आधा करें
23. LCM of 165,176,385,495 is k. When k divided by their HCF, quotient is p. Find p. 165, 176, 385 और 495 का LCM k है। जब k को HCF से विभाजित किया जाता है, तो भागफल p होता है। P का मान क्या है? SSC CPO Tier-I 2021, 13/12/2019
(a) 2520   (b) 5040   (c) 6720   (d) 3360
24. In finding HCF by division method, last divisor is 17, quotients are 1,11,2. Find sum of numbers. भाग विधि द्वारा HCF ज्ञात करने में, अंतिम भाजक 17 है और भागफल क्रमशः 1, 11, 2 हैं। दो संख्याओं का योग क्या है? SSC CGL Mains 2018, 18/Nov/2020
(a) 833   (b) 867   (c) 816   (d) 901
25. Find greatest number that leaves same remainder when 47,95,187 are divided by it. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें, जिससे 47, 95 और 187 को विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है। SSC GD - Jan 2023
(a) 6   (b) 8   (c) 2   (d) 4
26. Find smallest number which when doubled becomes exactly divisible by 15,18,25,32. वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी होगी जिसे दोगुना करने पर वह 15, 18, 25 और 32 से पूर्णतः विभाज्य हो जाएगी? SSC CGL - Dec 2022
(a) 3600   (b) 7200   (c) 6400   (d) 3200

🔹 Type – 7: Number Theory / Properties आधारित प्रश्न

📌 Formula:
✅ यदि दो संख्याएँ co-prime हों → HCF = 1, LCM = Product
✅ Two prime numbers का HCF × LCM = उनका Product ही होगा
27. Sum of digits of greatest 3-digit and smallest 4-digit number whose HCF is 23? तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या और चार अंकों की सबसे छोटी संख्या के अंकों का योग क्या है, जिनका HCF 23 है? SSC CPO Tier-I - Dec 2019
(a) 2002   (b) 1998   (c) 2001   (d) 1984
28. 13,a,b,c distinct; HCF of each pair with 13 is 13, a,b,c < 60, a<b<c. Find (a+c)/b. 13, a, b, c चार भिन्न संख्याएँ हैं और (13,a); (13,b); (13,c) का HCF 13 है, जहां a,b,c 60 से कम हैं। (a+c)/b का मान क्या है? SSC CGL Tier-I 2021, 13/04/2022
(a) 3.5   (b) 2   (c) 5   (d) 4.5
29. Three co-prime numbers: product of first two is 88, last two is 165. Find sum. तीन संख्याएँ इस प्रकार सह-अभाज्य हैं कि पहली दो का गुणनफल 88 है और अंतिम दो का 165 है। तीनों का योग है: SSC MTS Tier-I 2020, 27/10/2021
(a) 44   (b) 38   (c) 36   (d) 34
30. If K1 and K2 are two distinct prime numbers, what is HCF × LCM of K1 and K2? यदि K1 और K2 दो भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, तो उनके HCF और LCM का गुणनफल क्या होगा? SSC MTS - July 2022
(a) 1   (b) K1 × K2   (c) K1/K2   (d) K1 + K2
✅ उत्तर कुंजी / ANSWER KEY (Q1 to Q30)

1-(b) | 2-(c) | 3-(a) | 4-(a) | 5-(b) | 6-(d) | 7-(c) | 8-(d) | 9-(a) | 10-(b)
11-(a) | 12-(a) | 13-(b) | 14-(b) | 15-(c) | 16-(d) | 17-(b) | 18-(b) | 19-(a) | 20-(d)
21-(d) | 22-(b) | 23-(b) | 24-(c) | 25-(d) | 26-(a) | 27-(c) | 28-(b) | 29-(a) | 30-(b)

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