Divisibility Rules (2 to 11) in English & Hindi | विभाज्यता के नियम (2 से 11) | Number System | संख्या पद्धति

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🔥 Mathnija Complete Guide — Master Divisibility Rules from 2 to 11 with exam-oriented concepts, fast elimination tricks, and handpicked practice questions.

What is a Divisibility Rule? | विभाज्यता का नियम क्या है?

Sometimes we need to quickly determine whether one number is completely divisible by another without performing actual division. To make this easier, mathematicians identified certain patterns or shortcuts for different numbers, which we call Divisibility Rules. 🎯

कई बार हमें वास्तविक भाग (Division) किए बिना ही यह शीघ्र ज्ञात करना होता है कि कोई संख्या दूसरी संख्या से पूर्णतः विभाजित होती है या नहीं। इसी प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए विभिन्न संख्याओं हेतु विशिष्ट पैटर्न या नियम निर्धारित किए गए हैं, जिन्हें हम विभाज्यता के नियम कहते हैं। आधारभूत संख्या वर्गीकरण समझने के लिए Number System Guide भी अवश्य पढ़ें। 🎯

Core Divisibility Rules | प्रमुख विभाज्यता नियम

1. Divisibility by 2 | 2 से विभाज्यता का नियम

Rule: The unit digit of the number must be an even number or zero (0, 2, 4, 6, or 8).

नियम: संख्या का इकाई अंक 0, 2, 4, 6 या 8 होना चाहिए।

Example / उदाहरण: 428, 100

2. Divisibility by 3 | 3 से विभाज्यता का नियम

Rule: The sum of all digits in the number must be completely divisible by 3.

नियम: संख्या के सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।

Example / उदाहरण: 345 → 3 + 4 + 5 = 12 (12 ÷ 3 = 4, divisible)

3. Divisibility by 4 | 4 से विभाज्यता का नियम

Rule: The number formed by the last two digits must be divisible by 4, or the last two digits must be "00".

नियम: संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य होनी चाहिए अथवा अंतिम दोनों अंक "00" होने चाहिए।

Example / उदाहरण: 3148 → अंतिम दो अंक 48 (48 ÷ 4 = 12)

4. Divisibility by 5 | 5 से विभाज्यता का नियम

Rule: The unit digit of the number must be either 0 or 5.

नियम: संख्या का अंतिम (इकाई) अंक 0 या 5 होना चाहिए।

Example / उदाहरण: 1135, 9000

5. Divisibility by 6 | 6 से विभाज्यता का नियम

Rule: The number must satisfy the divisibility criteria for both 2 and 3 simultaneously.

नियम: संख्या 2 और 3 दोनों के विभाज्यता नियमों को एक साथ संतुष्ट करनी चाहिए।

Example / उदाहरण: 642 → इकाई अंक 2 है (सम) तथा अंकों का योग = 12 (3 से विभाज्य)

6. Divisibility by 7 | 7 से विभाज्यता का नियम

Rule: Double the unit digit and subtract it from the remaining number. If the resulting difference is divisible by 7 (or 0), the number is divisible by 7.

नियम: इकाई अंक को दोगुना (×2) करें और उसे शेष संख्या में से घटाएँ। यदि परिणाम 7 से विभाज्य हो, तो मूल संख्या 7 से विभाज्य होगी।

Example / उदाहरण: 483 → 48 − (3 × 2) = 42 (42 ÷ 7 = 6)

7. Divisibility by 8 | 8 से विभाज्यता का नियम

Rule: The number formed by the last three digits must be completely divisible by 8, or the last three digits must be "000".

नियम: संख्या के अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिए अथवा अंतिम तीन अंक "000" होने चाहिए।

Example / उदाहरण: 3128 → अंतिम तीन अंक 128 (128 ÷ 8 = 16)

8. Divisibility by 9 | 9 से विभाज्यता का नियम

Rule: The sum of all digits must be completely divisible by 9.

नियम: संख्या के सभी अंकों का योग 9 से पूर्णतः विभाज्य होना चाहिए।

Example / उदाहरण: 729 → 7 + 2 + 9 = 18 (18 ÷ 9 = 2)

9. Divisibility by 11 | 11 से विभाज्यता का नियम

Rule: The difference between the sum of digits at odd places and even places must be 0 or a multiple of 11.

नियम: विषम स्थानों के अंकों के योग तथा सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए।

Example / उदाहरण: 2728 → (8 + 7) − (2 + 2) = 15 − 4 = 11

🎯 Practice Questions (Q1 to Q12) | अभ्यास प्रश्न

Q1. If 7845K854 is divisible by 11, then what is the value of K?
यदि 7845K854, 11 से विभाज्य है, तो K का मान क्या है?
(a) 7   (b) 9   (c) 6   (d) 8

Solution / हल: (4 + 8 + 5 + 8) − (5 + K + 4 + 7) = 25 − (16 + K) = 9 − K = 0 ⟹ K = 9 → Ans: (b)

Q2. Which of the following is the largest 5-digit number divisible by 47?
निम्नलिखित में से कौन-सी, 47 से विभाज्य 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या है?
(a) 10000   (b) 99969   (c) 99999   (d) 98888

Solution / हल: 99999 ÷ 47 gives remainder 30. 99999 − 30 = 99969 → Ans: (b)

Q3. Which of the following numbers is divisible by both 2 and 5?
निम्नलिखित में से कौन सी संख्या 2 और 5 दोनों से विभाज्य है?
(a) 37254   (b) 37915   (c) 20792   (d) 63840

Solution / हल: Divisible by 10 means unit digit must be 0 ⟹ 63840 → Ans: (d)

Q4. Replace * with the smallest digit which makes the number 723*56* divisible by 6.
* को उस लघुतम अंक से प्रतिस्थापित कीजिए, जिससे 723*56* संख्या 6 से विभाज्य हो जाए।
(a) 4   (b) 2   (c) 3   (d) 1

Solution / हल: * must be even. Sum = 23 + 2*. For * = 2, Sum = 27 (divisible by 3) → Ans: (b)

Q5. If 72864*# is a number which is divisible by both 8 and 5, then what digits should come in place of * and # respectively?
यदि 72864*# एक ऐसी संख्या है जो 8 और 5 दोनों से विभाज्य है, तो क्रमश: * और # के स्थान पर कौन-से अंक आने चाहिए?
(a) 4 and 0   (b) 4 and 5   (c) 2 and 5   (d) 2 and 0

Solution / हल: Number is even, so # = 0. Testing 4*0 with 8 gives * = 4 (440 ÷ 8 = 55) → Ans: (a)

Q6. Which of the following numbers is not divisible by 11?
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 11 से विभाज्य नहीं है?
(a) 128041   (b) 80124   (c) 109153   (d) 5445

Solution / हल: For 128041: (1+0+2) − (4+8+1) = 3 − 13 = −10 (not divisible by 11) → Ans: (a)

Q7. Which of the following numbers is divisible by 2, 5, 10 and 11?
निम्नलिखित में से कौन सी संख्या 2, 5, 10 और 11 से विभाज्य है?
(a) 1234560   (b) 589270   (c) 830942   (d) 203467

Solution / हल: Must end in 0. 589270: (0+2+8) − (7+9+5) = 10 − 21 = −11 (divisible by 11) → Ans: (b)

Q8. Find the smallest value to be given to the number 'a' so that 91876a2 is divisible by 8.
91876a2 को 8 से विभाज्य बनाने के लिए संख्या 'a' को दिया जाने वाला सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।
(a) 1   (b) 2   (c) 0   (d) 3

Solution / हल: Last three digits 6a2. 632 ÷ 8 = 79 (exact) ⟹ a = 3 → Ans: (d)

Q9. Find the minimum value of k for which the 7-digit number 249k876 is divisible by 6.
k का वह न्यूनतम मान ज्ञात करें जिसके लिए 7-अंकों वाली संख्या 249k876, 6 से विभाज्य हो।
(a) 1   (b) 7   (c) 5   (d) 0

Solution / हल: Sum = 36 + k. 36 is already divisible by 3, so minimum value of k = 0 → Ans: (d)

Q10. Find the least value of x for which 57x716 is divisible by 9.
x का वह न्यूनतम मान ज्ञात करें, जिसके लिए 57x716, 9 से विभाज्य है।
(a) 1   (b) 8   (c) 9   (d) 0

Solution / हल: Sum = 26 + x. Nearest multiple of 9 is 27 ⟹ 26 + 1 = 27 ⟹ x = 1 → Ans: (a)

Q11. If P is a digit such that 6954P is divisible by 11, then what will be the value of P?
यदि P एक अंक है, तो इस प्रकार है कि 6954P, 11 से विभाज्य है, तो P का मान क्या होगा?
(a) 6   (b) 7   (c) 8   (d) 2

Solution / हल: (P + 5 + 6) − (4 + 9) = (11 + P) − 13 = P − 2 = 0 ⟹ P = 2 → Ans: (d)

Q12. If 3457K78 is divisible by 11, then what is the value of K?
यदि 3457K78, 11 से विभाज्य है, तो K का मान क्या है?
(a) 2   (b) 5   (c) 8   (d) 3

Solution / हल: (8 + K + 5 + 3) − (7 + 7 + 4) = (16 + K) − 18 = K − 2 = 0 ⟹ K = 2 → Ans: (a)

✅ ANSWER KEY | उत्तर कुंजी (Q1 to Q12)

Q1-(b) | Q2-(b) | Q3-(d) | Q4-(b) | Q5-(a) | Q6-(a)
Q7-(b) | Q8-(d) | Q9-(d) | Q10-(a) | Q11-(d) | Q12-(a)

🔗 Recommended Next Readings | आगे क्या पढ़ें?

• Number Classification & Types: Number System Definitions & Classification.
• Fast calculation speed tricks: Basic Calculation Complete Guide.
• Unit digit concepts: Unit Digit Complete Guide.

❤️ Mathnija

रटना नहीं, समझना है!